这份试卷主要讲解了整数的幂次方（$a^n$）的个位数字变化规律及余数变化规律。通过观察不同个位数的整数的幂次方的个位数字和余数，可以发现一定的规律。例如，当$a$的个位数为0、1、5、6时，$a^n$的个位数不变；当$a$的个位数为4或9时，个位数按照特定的两个数字循环；当$a$的个位数为2、3、7、8时，个位数按照特定的四个数字循环。此外，试卷还介绍了如何利用这些规律解决实际问题。

整数的幂次方（$a^n$）的个位数和余数变化规律遵循特定的循环模式。